El orden en el que se hacen las operaciones puede cambiar el resultado.
Por ejemplo, si tenemos los números 4
3
2
y escribimos las siguientes operaciones 4
x 3
+ 2, esto se puede leer de distintas maneras:
Una manera
Primero se puede hacer la operación 4
x 3
= 12, después al 12 le sumamos 2 y nos queda 12
+ 2
= 14.
Así el resultado final sería 14.
Otra manera
Primero hacer la operación 3
+ 2
= 5, después hacer la multiplicación: 4
x 5
= 20.
Así el resultado final sería 20.
En matemáticas, para no confundirnos, usamos los paréntesis.
Así las cosas, la primera manera se escribiría como (4 x 3) + 2 y así quedaría claro que la primera operación que hay que hacer, en este caso, es la multiplicación. La segunda manera se escribiría como 4 x (3+2) y todos sabríamos que la primera operación que hay que hacer es la suma.
¡Los paréntesis son símbolos muy importantes en matemáticas!
Te invitamos a que los uses
En los siguientes ejercicios escribe en los cuadritos vacíos las operaciones que necesites para lograr el resultado y además usa, en cada uno de ellos, los paréntesis para indicar que operación debe hacerse primero.
Además, para hacer un poco más divertido este juego, te pedimos que en cada uno de los ejercicios:
No repitas las operaciones.
Esto quiere decir que si en un cuadrito pones, por ejemplo, la suma, en el siguiente sólo podrás usar la resta o la multiplicación.
Ahora sí, ¡a trabajar!
8
7
3
el resultado debe ser el número
3
4
2
1
el resultado debe ser un número
impar
4
3
2
el resultado debe ser un número
mayor que 8 y
menor que 11
9
7
4
el resultado debe ser un
múltiplo de 4
12
3
5
el resultado debe ser un número
par
5
4
2
el resultado debe ser un número en el que las
decenas y las unidades sean
iguales
3
2
5
el resultado debe ser
0
11
6
3
el resultado debe ser un número
par
20
10
2
el resultado debe ser un
múltiplo de 3
13
9
21
el resultado debe ser
1
1
5
6
el resultado debe ser un número
impar
7
1
7
el resultado debe ser un número
impar
14
10
1
el resultado debe ser el número
par que sigue al 2
15
3
2
el resultado debe ser un número
mayor que 19 y
menor que 21
2
3
4
el resultado debe ser el
primer número impar
EL DOBLADO DEL PAPEL
RECTÁNGULO
Ahora vamos a hacer algunos polígonos doblando papel. Para empezar necesitas una hoja de papel de cualquier tamaño; sólo considera que entre más pequeña sea, más difícil será hacer los dobleces. Las hojas de papel bond funcionan muy bien, si tienes papel de reciclaje, ¡qué mejor!
Recuerda que los polígonos son figuras formadas por líneas. Para hacer nuestros polígonos, vamos a trazar líneas en la hoja. Para una línea recta, sólo hay que hacer un doblez así:
Cuando desdoblas la hoja habrás trazado una línea que se ve más o menos así:
A partir de esta línea vamos a obtener un rectángulo. Vuelve a doblar la hoja, pero ahora dobla sobre la línea que obtuvimos hace un rato. Para lograrlo, haz que la esquina B quede sobre la línea que acabamos de trazar.
Si vuelves a desdoblar la hoja notarás que se han marcado dos líneas. Estas líneas son perpendiculares, es decir, entre ellas hay un ángulo de 90°.
¿Estás de acuerdo en que estos dobleces forman un ángulo recto? ¿Por qué?
Cuando hacemos lo mismo, pero con el otro extremo, trazamos otra línea que también es perpendicular a la original.
Después de este tercer doblez, tu hoja queda así:
¿Podrías decir qué tipo de líneas son las que hicimos en estos dos últimos dobleces? Si ambas son perpendiculares a la misma línea, entre ellas son...
Para terminar de trazar nuestro rectángulo, hay que doblar hacia abajo procurando que los puntos D y E queden sobre sus respectivas líneas.
Al desdoblar la hoja verás el rectángulo terminado.
CUADRADO
Ahora vamos a construir un cuadrado a partir de un rectángulo.
Primero dobla la esquina superior izquierda hacia abajo de manera que la línea AD coincida con la línea AC.
Para obtener el cuadrado, recorta la línea EF y listo. Tu cuadrado quedará con una de sus diagonales trazada:
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
A partir de un rectángulo también se puede trazar un triángulo equilátero. La base de nuestro triángulo será la línea DC. Para comenzar, primero dobla el rectángulo por la mitad, haciendo que los puntos A y D coincidan con los puntos B y C, respectivamente.
Ahora dobla la esquina inferior derecha hacia arriba de manera que el extremo C quede sobre el doblez que acabamos de hacer.
El punto donde se unen el vértice C y la línea central es justamente el tercer vértice que necesitamos. Para completar el triángulo marca los lados OD y OC y recorta.
HEXÁGONO REGULAR
Podemos hacer un hexágono regular de dos maneras. La primera es a partir de un triángulo equilátero. Comienza por dividir a la mitad el triángulo desde dos vértices distintos. Puedes hacerlo sobreponiendo la línea AB y la AC , y luego la BC sobre la AC.
Ese punto en donde se intersectan los dobleces es el centro del triángulo. Para terminar, dobla los vértices hacia adentro y hazlos coincidir en el centro del triángulo. Tu hexágono está listo.
Otra manera de hacer un hexágono regular es entrelazando dos tiras de papel del mismo ancho. Hazlo de esta manera:
No dobles las tiras, simplemente forma los lazos; así no te costará trabajo jalar los extremos para formar un hexágono al centro del nudo que se verá así:
Ya sólo tienes que esconder lo que sobra de las tiras doblándolas hacia atrás. Tu hexágono regular está listo.
PENTÁGONO REGULAR
Para hacer un pentágono regular, haz un nudo con la tira de papel de esta manera:
Una vez que recorras todo el papel, el nudo tiene básicamente la forma de un pentágono. Esconde lo que sobra de las tiras y listo.
 n pueblito muy especial
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En un pueblo muy chiquito hay solamente 4  casas, como son las únicas en todo el lugar, las cuatro quieren estar comunicadas entre sí. Por eso los vecinos quieren construir caminos que unan cada una de las casas con las otras tres. Para no hacer un enredo de caminos ningún camino deberá de cruzarse con alguno de los otros.
Aquí están las 4 casas, ¿podrías dibujar los caminos que unen las casas y que sin que se crucen entre sí?
Esta es una de las posibles soluciones
¿es igual a la tuya?++-'0987654321|
Si en el pueblito, en lugar de haber 4 casas, hubiera 5 casas, ¿podrías conectar todas las casas entre sí sin que los caminos se crucen?
Ahora imagínate que el pueblito está creciendo y que ya tiene 6 casas, ¿puedes encontrar los caminos siguiendo las mismas reglas?
Recuerda:
- Cada una de las casas deberá estar unida con todas las demás a través de un camino.
- Los caminos no deberán cruzarse
Parece que con 5 y 6 casas es imposible resolver el problema ¿verdad? Lo que sucede es que hay algo que no te hemos dicho...algo que hace que este pueblo sea en realidad muy especial. El pueblito está en un terreno que se puede doblar, sí, doblar como si fuera una hoja de papel.
Si lo pensamos así, el terreno tendría dos caras, una donde están colocadas las casas y la otra, la cara de abajo por llamarla de algún modo.
Ahora vamos a unir los extremos del terreno como si quisiéremos hacer un cilindro
pero antes de cerrarlo le damos media vuelta, giramos un lado y lo pegamos al revés, las casas de ese lado quedarían adentro de la banda (imagínate que al abrocharte el cinturón de tu pantalón un lado quedó torcido o al revés.
A se une con D
B se une con C Tendrías algo así:
Antes de intentar resolver el problema de las casas vamos a ver con mucho cuidado de que forma quedó el terreno:
Construye con una tira de papel la figura el terreno. Lo que has construido en matemáticas se llama "Banda de Möbius" pues fue descubierta en el siglo XIX por el matemático alemán August Möbius.
Con un  lápiz recorre toda la banda sin levantarlo del papel, ahora con tu dedo, sigue la orilla de la banda hasta llegar al punto de donde saliste. ¿qué es lo que sucede?
¡Sí, esta banda tiene una sola cara y una sola orilla!
Ahora sí, intentemos resolver el problema con 5 casas teniendo el terreno de esta forma:
Observa que las líneas  y  siguen su camino por "abajo".
Para entender mejor el problema, dibuja sobre tu banda de papel las casas. Dibuja los caminos de colores distintos para que puedas ver mejor lo que está pasando.
Ahora ¿ Podrías resolver el problema con seis casas?.
 a banda mágica
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Esta actividad está dirigida a niños  de quinto año de primaria, en adelante.
En muchas ocasiones las matemáticas pueden parecer mágicas...
Aquí te proponemos conocer y jugar justamente con una banda que podría parecerte mágica: la "Banda de Möbius", descubierta por el matemático alemán August Möbius en 1858.
Un breviario cultural: Queremos aclarar que quizás en otros lados encontrarás el nombre del matemático Möbius escrito como Moebius, no te preocupes, es exactamente el mismo. Lo que sucede es muchos nombres alemanes llevan "diéresis" (los puntitos que van encima de la o) y antiguamente las máquinas de escribir no tenían este símbolo por lo que en español se optó por escribir las letras "oe" para designar la "ö".
Así por ejemplo, otro gran matemático alemán llamado Gödel muchas veces aparece como Goedel y al famosísimo escritor, también alemán, Göthe, la mayoría de las veces se le encuentra como Goethe.
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Bueno, ahora sí, empecemos con la banda de Möbius:
Para aprender a construirla y entender que es lo que sucede con ella, te proponemos, primero, trabajar un poco con las bandas comunes (¡las bandas musicales no!).
Para realizar la actividad necesitarás el siguiente material:
- Varias tiras de papel de aproximadamente 7 cm x 30 cm. (realmente si son de 10 x 35 no pasa nada, lo importante es que sean rectángulos muy largos y delgados)
- tijeras
- pegamento
- cinta adhesiva
- colores.
¡Empecemos!
Vamos a construir una banda normal.
Toma una de las tiras de papel
Ilumínala con dos colores diferentes de la siguiente forma: un lado de la tira deberá quedar iluminada de un color y el otro lado de otro color, por ejemplo, el lado de arriba se pinta de rojo y el de abajo de azul.
Cara de arriba
Cara de abajo
Ya que la tira está coloreada, construyamos la banda:
Para construir la banda tendrás que unir los extremos de la tira para lo cuál te proponemos nombrar las cuatro esquinas con las letras A, B, C, D.
Ahora une la esquina A con la C y la esquina B con la D para formar una banda normal, una especie de anillo ancho, o una lata de refresco sin base y sin tapa.
Pega los dos extremos de la banda con resistol o cinta adhesiva
Como ves, la banda ha quedado de dos colores roja por fuera y azul por dentro.
- Recorre con tu dedo una orilla de la banda sin separarlo hasta llegar al lugar donde empezaste.
¿Tocaste en algún momento la otra orilla?
Con un color diferente a los que usaste para iluminar la banda dibuja un camino por afuera de manera que sin despegar el color, recorras la banda completa hasta llegar al inicio del camino.
(El camino verde debe ser derecho) - Al trazar el camino, ¿Cuántas caras de la banda tocaste?
- Ahora corta la banda siguiendo el camino que dibujaste sobre ella.
¿Qué pasó con la banda?
En resumen, una banda común tiene dos caras y dos orillas. Al cortarla obtienes dos bandas más delgadas pero que tienen la misma forma que la primera.
Ya que conoces muy bien las bandas comunes estás listo para construir:
"la banda mágica"
Toma otra de las tiras de papel y vuelve a llamar a las esquinas A, B, C, D.
Esta vez vas a unir los extremos de la tira de manera distinta: la esquina A deberá quedar unida a la esquina D y la esquina B a la C. Para lograr esto antes de unir los extremos deberás darle media vuelta a la tira.
- Con un color traza un camino que vaya por el centro de la banda
¿qué ocurre?
- Habíamos visto que la banda común tiene claramente dos caras y dos orillas.
¿qué pasa con la de Möbius?
- Ve recorriendo, muy despacito el borde y verás que sin levantar el dedo, ¡de una sola vez lo recorres todo! ¿te sorprende?
En efecto, la banda de Möbius tiene una sola cara y una sola orilla!
La banda de Möbius tiene otras muchas gracias:
Cuando cortaste la banda común por la mitad con unas  tijeras, te quedaron dos bandas iguales que la primera.
Intenta hacer esto mismo con la banda de Möbius.
- Dibuja un camino que vaya por la mitad de la banda y ahora recorta la banda siguiendo el camino
¿qué ocurre?
¡Lo que obtendrás es una nueva banda parecida a la que tenías sólo que más larga !
La banda que te quedó, córtala otra vez por la mitad
¿qué crees que salga?
¿otra vez una banda parecida pero más larga?
No, lo que ocurre no es lo que esperabas Inténtalo otra vez, construye muchas bandas de Möbius y recórtalas varias veces.
¡La banda de Möbius está llena de sorpresas! |
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 eometría de la lámina de hule
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 ntersecciones
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¡Un juego matemático! Para jugar este juego se necesitan dos   personas.
Cada competidor jugará con un color
Se juega sobre este tablero:
El objetivo del juego consiste en unir con líneas rectas los puntos verdes marcados en los lados del cuadrado y conseguir el mayor número de intersecciones entre las líneas que se tracen. ¿sabes lo qué es una intersección?
Cuando dos o más líneas se cortan, en el lugar donde se cortan decimos que hay una intersección.
punto de intersección | 
puntos de intersección |
En el primer dibujo la línea azul sólo tiene un punto de intersección y en el segundo dibujo la línea roja tiene dos puntos de intersección porque corta a dos rectas.
Sigamos con el juego
Material para jugar:
-
Dos  lápices de colores
-
Una regla
-
El tablero
Las reglas:
· Se elegirá al azar cuál  jugador comenzará primero
· El primer jugador elegirá un punto donde empezar y lo marcará con el número 1 y tomará otro punto que no esté en la misma línea y lo marcará con el número 2. Después unirá los puntos 1 y 2 con una recta que dibujará usando la regla.
· El otro jugador decidirá cuál va a ser el punto 3 y trazará una recta entre el punto 2 y el 3.
· El primer jugador continuará el juego de la misma manera hasta que los 12 puntos del tablero hayan sido utilizados.
· Cada jugador marcará con pequeños  círculos de su color las intersecciones que logre en cada tirada.
· La partida termina cuando los puntos del tablero han sido todos utilizados o cuando ya no se puedan trazar más rectas con las mismas reglas.
Puntaje
Cada intersección hecha entre líneas del mismo color vale dos puntos.
Cada intersección hecha entre líneas de distinto color vale un punto
Pasar por una intersección ya marcada no da puntos. Gana el jugador que al final de la partida tenga más puntos.
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Para llevar el control de puntos te sugerimos ir llenando esta tabla durante la partida:
Número de tirada
| Jugador 1
| Jugador 2
|
Tirada 1
| | |
Tirada 2
| | |
Tirada 3
| | |
Tirada 4
| | |
Tirada 5
| | |
Tirada 6
| | |
Tirada 7
| | |
Tirada 8
| | |
Tirada 9
| | |
Tirada 10
| | |
Tirada 11
| | |
Tirada 12
| | |
Ejemplo de una partida:
Aquí encontrarás las primeras 5 tiradas de una partida y su puntaje hasta ese momento.
¿Quieres continuarla ?
Jugadoras: Sara y Laura
Sara tirará con color rojo
Laura tirará con color amarillo
Puntaje
Número de tirada
| Sara
| Laura
|
Tirada 1
| 0
| 0 |
Tirada 2
| 0
| 0 |
Tirada 3
| 2
| 0 |
Tirada 4
| 2
| 3 |
Tirada 5
| 5
| 3 |
Tirada 6
|
| |
Tirada 7
|
| |
Tirada 8
|
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Tirada 9
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Tirada 10
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Tirada 11
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Tirada 12
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"Una de las curiosidades de la topología es la cinta de Möbius, que se construye muy fácilmente. Tómese un rectángulo de papel, alargado, ABCD como se muestra en la figura 1, désele media vuelta y únanse sus extremos de manera que C caiga en B y D en A como se muestra en la figura 2.
 figura 1
 figura 2
Esta es una superficie de un solo lado y si un pintor conviniese en pintar solamente un lado de la misma, su gremio se interpondría, puesto que al pintar un lado estaría en realidad, pintando ambos lados. Si la faja no hubiese sido torcida antes de pegar los extremos, hubiera resultado un cilindro, que es, evidentemente, una superficie de dos lados. Sin embargo, la media vuelta eliminó uno de los lados. ¿Increíble? Usted puede convencerse de ello. Trace una línea recta a lo largo del centro de la cinta, continuándola hasta volver al punto de partida. Separe ahora los extremos de la cinta y verá que ambos lados han sido recorridos por la línea recta aun cuando, al trazarla, usted no cruzó ninguno de sus bordes. Si usted hubiese seguido este mismo procedimiento con un cilindro, habría tenido que cruzar sobre el borde para pasar de un lado al otro. Aunque todos los dictados del sentido común indican que la cinta, con la media vuelta, tiene dos bordes que le sirven de contorno, hemos demostrado que sólo tiene uno, por cuanto dos puntos cualesquiera de la cinta de Möbius pueden ser unidos con tan sólo partir de un punto y trazar la trayectoria hasta el otro sin levantar el  lápiz o sin atravesar con él, borde alguno.
Hay mucho de divertido e interesante en confeccionar esta cinta. Cuando usted haya estudiado las propiedades descritas, córtela por la mitad con un par de tijeras, a lo largo de una línea trazada por el centro. ¡El resultado será sorprendente! Y usted puede continuar, doblando y cortando algunas veces más, para obtener nuevas sorpresas..."
Tomado del libro:
Kasner E. Y Newman J. Matemáticas e Imaginación. Ed. CECSA. México, 1972.
Páginas transcritas: 225 a 227.
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ritmética con dados
amigos.
dados para obtener los números del tablero. Cada jugador lanzará los dados y después de hacer operaciones con los números que le hayan salido, marcará la casilla.
ritmética obligada
semillas distintas. Cada participante usará un color o un tipo de semillas para marcar sus casillas.
escribir las operaciones que te lleven al resultado que se pide. Puedes escoger entre la suma
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